贝塞尔曲面

给定一个 \((n+1) \times (m+1)\) 的控制点网格 \(P_{i,j}\)，曲面 \(S(u, v)\) 定义为： \[S(u, v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} B_{i,n}(u) B_{j,m}(v) P_{i,j}\] 其中：

• \(u, v \in [0, 1]\) 是参数。
• \(B_{i,n}(u)\) 和 \(B_{j,m}(v)\) 是伯恩斯坦多项式。

为了便于计算，通常将曲面公式展开为矩阵乘法形式： \[S(u, v) = \mathbf{U}^T \mathbf{M}_n^T \mathbf{P} \mathbf{M}_m \mathbf{V}\]

矩阵分量说明：

• \(\mathbf{U}\): \(u\) 的幂基向量 \([1, u, u^2, \dots, u^n]^T\)。
• \(\mathbf{V}\): \(v\) 的幂基向量 \([1, v, v^2, \dots, v^m]^T\)。
• \(\mathbf{M}_n, \mathbf{M}_m\): 分别为 \(n\) 阶和 \(m\) 阶的 Bézier 基矩阵 （即前面推导过的上三角矩阵）。
• \(\mathbf{P}\): 控制点矩阵，每一个元素 \(P_{i,j}\) 通常是一个三维坐标 \((x, y, z)\)。

如果将伯恩斯坦多项式直接展开并代入，曲面可以表示为关于 \(u\) 和 \(v\) 的多项式： \[S(u, v) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=0}^{m} A_{k,l} u^k v^l\] 其中系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 的计算公式为： \[\mathbf{A} = \mathbf{M}_n^T \mathbf{P} \mathbf{M}_m\] 在这个公式中：

• \(A_{k,l}\) 是 \(u^k v^l\) 项对应的系数（同样是 3D 向量）。
• 一旦计算出 \(\mathbf{A}\)，对于任何 \((u, v)\)，只需进行简单的幂次累加即可求点，这在实时渲染中效率很高。

• 物理意义 ：曲面是由 \(u\) 方向的贝塞尔曲线在 \(v\) 方向扫掠而成的。
• 计算关键 ：先计算两个方向的基矩阵 \(M\)，然后通过矩阵乘法 \(\mathbf{M}^T \mathbf{P} \mathbf{M}\) 预处理出系数，最后带入参数 \(u, v\)。